Résumés des cours et exposés

Journées de Géométrie Algorithmique 2005

24-28 janvier 2005
Saint-Pierre de Chartreuse

Résumés des cours

Combinatoire de la théorie des noeuds et des tresses
Christian Blanchet
La théorie mathématique des noeuds et tresses a connu ces vingt dernières années un développement très important. La découverte du fameux polynôme de Jones a joué un rôle déterminant dans cet essor, en mettant en évidence la relation avec la théorie quantique des champs, et au delà avec de nombreux domaines mathématiques ou physiques (groupes quantiques, théorie conforme des champs ...). La théorie compte en outre d'intéressantes applications, par exemple à l'étude de l'ADN et à la cryptographie.

Le cours comportera deux parties :

Dans le premier exposé, nous exposerons les bases de cette théorie: noeuds polygonaux, isotopie, mouvements de Reidemeister, groupes de tresses, clôture d'une tresse, mouvements de Markov.

Dans le second exposé, nous présenterons des exemples de problèmes de nature combinatoire, et quelques résultats permettant de se faire une idée des questions algorithmiques sous-jacentes.

Fonctions distances
Frédéric Chazal
A tout sous-ensemble fermé F d'un espace euclidien ou d'une variété riemannienne, on peut associer une fonction distance à F définie par dF(x) = inf{y in F} d(x,y). De telles fonctions (distance à un point, distance à un nuage de point, distance au bord d'un "objet",...) interviennent naturellement dans de nombreux problèmes de géométrie appliquée et riemannienne. En général, ces fonctions et leurs hypersurfaces de niveau ne sont pas différentiables et il n'est donc pas possible de les étudier à l'aide des outils usuels de géométrie différentielle. Elles possèdent cependant de nombreuses propriétés semblables à celles des fonctions différentiables (notion de point singulier, lemme d'isotopie, théorème de Sard, etc...) qui ont été utilisées avec succès par divers auteurs (Grove-Shiohama, Cheeger,...) pour établir des liens entre la géométrie et la topologie des variétés riemanniennes.

Ce cours comportera deux parties. Dans la première, on présentera les propriétés mathématiques remarquables des fonctions distances. Dans la seconde, nous montrerons sur quelques exemples comment de telles propriétés peuvent être utilisées pour obtenir des résultats d'approximation et de stabilité topologique utile en géométrie appliquée. Cette seconde partie établira un lien avec le cours de David Cohen-Steiner sur la persistance topologique.

Références :
[1] F. Chazal, A. Lieutier, Weak Feature size and persistent homology: computing homology of solids in R^n from noisy data samples, preprint IMB 378 ps or pdf.
[2] J. Cheeger, Critical Points of Distance Functions and Applications to Geometry, Geometric Topology: recent developments, Montecatini Terme, 1990, Springer Lecture Notes, 1504 (1991), 1-38.
[3] K. Grove, Critical Point Theory for Distance Functions, Proc. of Symposia in Pure Math., vol. 54, 1993.

Espaces métriques discrets
Victor Chepoi
Les espaces métriques discrets sont apparus dans les dernières années comme une nouvelle branche des mathématiques discrètes ayant des liens profonds et des applications surprenantes en Informatique Théorique. Les questions de ce domaine constituent un mélange séduisant de combinatoire et de géométrie avec de nombreuses connexions à l'algorithmique. Dans ce cours, nous présenterons des résultats classiques et récents de la théorie des espaces métriques discrets.

Le cours comportera trois parties :

(i) Structures, décomposition, plongements des espaces métriques. Classes principales des espaces métriques finis.

(ii) Plongements à faible distortion dans des espaces normés et des produits d'arbres. Applications algorithmiques.

(iii) Métrique des graphes.

Références :
[1] H.-J. Bandelt, V. Chepoi, Metric graph theory and geometry: a survey
[2] M.M. Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Springer-Verlag, Berlin, 1997
[3] J. Matousek, P. Indyk, Low-distortion embeddings of finite metric spaces, Handbook of Discrete and Computational Geometry

Mineurs de graphes et analyse
Yves Colin de Verdière
la relation d'ordre de mineur sur les graphes finis jouit de propriétés remarquables étudiées récemment en particulier par Robertson, Seymour et d'autres (ex-conjecture de Wagner). Il est naturel de munir les arêtes d'un graphe de poids représentant suivant les contextes des paramètres issus de modélisations comme des longueurs ou des résistances électriques. Il est alors clair que l'on peut faire dégénérer les graphes en faisant tendre certains de ces paramètres vers 0 ou l'infini. On obtient ainsi une interprétation topologique de la notion de mineur. Pour certaines applications (théorie spectrale par exemple), il est judicieux d'introduire des structures différentiables, en fait des stratifications. De façon plus précise, j'étudierai les opérateurs de type Schrödinger sur les graphes et montrerai comment un tel ensemble d'opérateurs admet une compactification naturelle contenant comme strates les opérateurs de type Schrödinger sur les mineurs du graphe donné. Je montrerai ensuite comment en déduire des invariants numériques des graphes monotones pour la relation de mineurs.

Le cours comportera trois parties d'une heure chacune.

Exposé 1 : perturbations singulières de valeurs propres de matrices symétriques et Gamma-convergence.

Exposé 2 : la relation de mineur revisitée par les analystes : la stratification des opérateurs de Schrödinger

Exposé 3 : invariants spectraux et topologie.

Références:
[1] yCdV, spectre de graphes, collection cours spécialisés de la SMF (1998)
[2] yCdV, exposé aux journées X-UPS 2004
(Sur le spectre des opérateurs de type Schrödinger sur les graphes)

Persistance topologique
David Cohen-Steiner
La persistance topologique, introduite par H. Edelsbrunner, D. Letscher et A. Zomorodian en 2000, est un moyen de distinguer le "signal" du "bruit" dans une fonction réelle $f$ définie sur un espace topologique. L'idée de la persistance est d'analyser l'évolution de la topologie des sous-ensembles de niveau $f^{-1}(-\infty,x]$ de $f$, lorsque le seuil $x$ augmente. Il se trouve que cette évolution peut être représentée sous la forme d'un ensemble d'intervalles, appelés intervalles de persistance. Chacun de ces intervalles correspond à la "durée de vie" d'un événement topologique dans l'évolution des sous-ensembles de niveau de $f$. Une propriété importante de la persistance est sa stabilité vis-à-vis des perturbations. Ainsi, ajouter un bruit de faible amplitude à une fonction réelle aura pour effet d'introduire ou de supprimer des intervalles courts, sans trop modifier les intervalles longs. Les intervalles longs peuvent donc être considérés comme relevant du signal et non du bruit.


La première partie de ce cours sera consacrée à la définition de la persistance topologique. Puis je donnerai un algorithme simple permettant de calculer les intervalles de persistance d'une fonction linéaire par morceaux définie sur un complexe simplicial. Enfin, je décrirai quelques applications géométriques de la propriété de stabilité de la persistance.

Some Problems in Biogeometry: Optimal Packings of Tubes, Ideal Knot Shapes, Biarcs and the Global Radius of Curvature
John Maddocks
In these three talks I will describe three ideas all pertaining to the analysis and computation of optimal packings of cylindrical tubes centred on arbitrary space curves. While I will not mention the specific applications in any detail, the problem of cylindrical tubes, or fattened lines, arises in a variety of biological contexts, for example packing of DNA into the capsid head of bacteriophages, and the helical form of many bacteria and other simple organisms.

The first idea is that of global radius of curvature, which is a method of characterizing the normal injectivity radius (or informally thickness) of a given space curve.

The second idea is that of biarcs, which are a way of approximating arbitrary space curves with arcs of circles. The biarc discretization combines very well with the approach of global radius of curvature in the computation of thickness.

The third idea is the specific optimal packing problem of ideal knot shapes. Here I will explain the problem, and then show approximately ideal shapes of trefoil and figure-eight knots that were computed via a Monte Carlo code that exploits global radius of curvature and the biarc discretization.

Références:
The material of the three talks is described at length in the thesis,
Global Radii of Curvature, and the Biarc Approximation of Space Curves: In Pursuit of Ideal Knot Shapes, by Jana Smutny
which is available in pdf as Thesis number 7 on:
http://lcvmwww.epfl.ch/publis.html
and in the articles (also available electronically from the same page):

[82] M. Carlen, B. Laurie, J.H. Maddocks, J. Smutny, "Biarcs, Global Radius of Curvature, and the Computation of Ideal Knot Shapes", Chapter in "Physical and Numerical Models in Knot Theory and Their Application to the Life Sciences", Eds. J. Calvo, K. Millett, E. Rawdon, and A. Stasiak, To be published by World Scientific. (A condensed version of Chapters 4, 7 and 8 of the thesis [7])

[65] O. Gonzalez, J.H. Maddocks, J. Smutny, "Curves, circles, and spheres", Contemporary Mathematics 304 (2002) 195-215. (The original version of Chapter 3 of the thesis [7])

[61] O. Gonzalez, J.H. Maddocks, F. Schuricht, H. von der Mosel, "Global curvature and self-contact of nonlinearly elastic curves and rods", Calculus of Variations 14 (2002) 29-68. (A rather technical article showing how global radius of curvature can be used to prove the existence and minimal regularity of various optimal packing problems, including ideal knot shapes.)

[57] A. Stasiak, J. H. Maddocks, "Best packing in proteins and DNA", Nature 406, July (2000) 251-252. ( A discussion of an article by Maritan et al that uses global radius of curvature in optimal packing and relates to the crystal structures of various molecular helices.)

[43] O. Gonzalez, J.H. Maddocks, "Global Curvature, Thickness and the Ideal Shapes of Knots", Proc. National Academy of Sciences of the USA 96 (1999) 4769-4773. (The original article on global radius of curvature, as motivated by ideal knot shapes.)

Algorithmique du calcul de l'homologie des ensembles semi-algébriques
Marie-Françoise Roy
Les deux grandes méthodes permettant de calculer l'homologie des ensembles semi-algébriques seront présentées: la méthode de décomposition cylindrique et la méthode des points critiques. La première est très générale et a une complexité doublement exponentielle dans le nombre de variables, la second donne des résultats simplement exponentiels dans un certain nombre de cas spécifiques (résultats récents de Basu Pollack Roy et de Basu)

Résumés des exposés

Une méthode d'ordre 2 pour l'estimation de tangentes
Gudrun Albrecht
La reconstruction de courbes planes à partir de points discrets néssecite souvent l'estimation de tangentes en ces points. Ce travail présente une méthode d'estimation de tangentes pour des données convexes, qui se base sur le théorème de Pascal relatif aux coniques. Les tangentes sont donc exactes si les points proviennent d'une conique. Cet algorithme simple et efficace est comparé, d'abord de façon experimentelle, à des méthodes classiques d'approximation de tangentes, donnant de meilleurs résultats. Ensuite, cette meilleure performance est justifiée par une étude théorique des ordres d'approximation des méthodes considérées. Il s'agit d'un travail commun avec J.P. Bécar, G. Farin, et D. Hansford.

Formules d'inclusion-exclusion à partir de complexes indépendants
Dominique Attali
Nous caractérisons les formules minimales d'inclusion-exclusion obtenues à partir de complexes simpliciaux et permettant de mesurer l'aire d'une union de disques dans le plan et plus généralement le volume d'une union de boules dans Rd. Ces formules sont décrites par des triangulations ayant des éléments indépendants et le même espace sous-jacent ainsi que le même complexe frontière que le complexe dual des boules.

Ce problème a des applications en biochimie où une molécule est souvent identifiée par la portion de l'espace qu'elle occupe. Cette portion est communément décrite par une union de boules dans R3, chaque boule représentant un atome de la molécule. L'aire et le volume de cette union interviennent dans le calcul des forces physiques agissant sur la molécule.

Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec H. Edelsbrunner.

Représentation compacte de triangulations
Luca Castelli Aleardi
Nous considérons le problème de représenter de manière compacte des structures de données géométriques en permettant une implementation efficace des opérations de navigation. Pour le cas des triangulations planaires à m faces, nous proposons une représentation de l'information combinatoire du maillage qui améliore à 2.175m bits la quantité asymptotique d'éspace utilisé fournissant une implementation de la navigation et des requêtes d'adjacences entre triangles en temps constant. Cette représentation peut s'étendre au cas de surfaces de genre borné et permet aussi l'accèsaux données géométriques associés à la triangulation.

Taille moyenne de la silhouette d'un polyèdre
Marc Glisse
On considère généralement en graphisme qu'un polyèdre suffisamment régulier de taille n a une silhouette de taille sqrt(n). Le but ici est de formaliser cette affirmation. Le cas des polytopes (convexes) a été traité dans un article publié à CCCG en 2003. On s'intéresse ici au cas des polyèdres qui approximent une surface, et à la complexité moyenne de la silhouette pour une direction d'observation aléatoire.

Théorème de type Helly et droites perçantes à des sphères congruentes
Xavier Goaoc
Le Théorème de Helly énonce qu'une famille de convexes de Rd a une intersection non vide si toute sous-famille de taille d+1 a une intersection non vide. Plus généralement, les résultats du type "si toute sous-famille de F de taille (au plus) k a la propriete P alors F a la propriete Q" sont nommés "théorèmes de type Helly" et font l'objet de recherches actives en géométrie combinatoire.

Une droite perçante pour une famille F d'objets de Rd est une droite qui intersecte chacun des objets de F. Au cours des dernières décennies, plusieurs théorèmes de type Helly portant sur l'existence de droites perçantes à des objets du plan ont été établis. En particulier, Hadwiger a montré en 1957 que si une famille ordonnée de convexes F est telle que tout triplet admette une droite perçante compatible avec son ordre alors F admet une droite perçante. En 1958, Grünbaum a conjecturé l'existence d'un résultat analogue sans restriction sur l'ordre, non pas dans le cas de convexes généraux mais pour les familles de copies disjointes d'un même convexe. Cette conjecture ne fut établie qu'en 1989 par Tverberg qui montra que le nombre de Helly est en l'occurence 5.

En dimension 3, Holmsen et Matousek ont établi en 2004 qu'il ne peut exister ni Théorème de type Helly ni Théorème de Hadwiger pour des convexes généraux, ni mêmes pour des copies disjointes d'un même convexe. Néanmoins, Holmsen et al. ont montré en 2003 l'existence de tels résultats dans le cas particulier de sphères disjointes et congruentes, i.e. de même rayon. Ils ont établi que le nombre de Hadwiger correspondant est au plus 12 et le nombre de Helly au plus 46, les bornes inférieures correspondantes étant respectivement 4 et 5. En obtenant de nouveaux résultats sur les permutations géométriques de sphères congruentes, Cheong et al. ont amélioré en 2003 les bornes supérieures sur les nombres de Hadwiger et de Helly à respectivement 9 et 18.

Je présenterai une nouvelle preuve des Théorèmes de Hadwiger et de Helly pour droites perçantes à des sphères congruentes. Cette preuve repose sur une étude des propriétés des ensembles de droites perçant des sphères afin de leur appliquer la version topologique du Théorème de Helly et montre que le nombre de Hadwiger est au plus 6 et celui de Helly au plus 11. Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec Otfried Cheong et Andreas Holmsen.

calcul des tangentes communes à deux ellipses
Luc Habert
Dans ce travail, on montre comment calculer les tangentes communes à deux ellipses. On obtient les coefficients des équations des tangentes comme des racines de polynômes de degré 4, dont les coefficients sont des polynômes de degré 8 en les coefficients des ellipses. Pour des ellipses disjointes, il y a une notion de « type de bitangente » : la bitangente sépare-t-elle les deux ellipses ou non, et laquelle des deux ellipses rencontre-t-elle en premier? On montre comment obtenir le type des bitangentes calculées. Enfin, on montre comment évaluer certains prédicats sur ces bitangentes, permettant, par exemple, de calculer des graphes de visibilité. La méthode décrite a été implémentée (en utilisant le package RootOf de I. Emiris et E. Tsigaridas pour manipuler les algébriques), et s'est avérée raisonnablement rapide.

preuve que la frontiere (3D) d'une cellule du complexe de visibilite 3D est connexe. Application a un algorithme de construction du complexe de visibilite
Samuel Hornus
La décomposition radiale d'une scène 3D permet de maintenir simplement la visibilité d'un point de vue qui se ballade. Sur une scène polygonale, nous pouvons utiliser cette maintenance pour balayer l'ensemble du 3-squelette du complexe de visibilité, de manière assez intuitive. Dès lors, le chainon manquant pour construire complètement le complexe de visibilité 3D et une preuve de la connexité des frontières 3D des cellules 4D du complexe. Ce que nous présentons.

Weak Feature Size : peut-on attraper le type d'homotopie d'un objet a partir d'une Hausdorff approximation de son bord ?
André Lieutier
Après avoir introduit la notion de weak Feature Size (WFS), qui généralise la notion de reach ou de lfs, pour des objets non lisses, on montre que la donnée d'une Hausdorff approximation de la frontière d'un ouvert borné de Rn, par exemple par un échantillon fini, détermine complètement son type d'homotopie. Les techniques utilisées dans les preuves sont largement basées sur les propriétés de la fonction distance et du flot induit par son gradient généralisé. Sur un plan pratique, on donne un algorithme réaliste permettant de calculer les nombres de Betti a partir d'un échantillon bruité en utilisant les techniques de "persistent homology". Des resultats un peu plus faibles mais applicables dans un contexte plus général ont été obtenus indépendament par D. Cohen-Steiner et H. Edelsbrunner.

Coauteur : F. Chazal

Ordres d'insertion préservant la localité pour les triangulations de Delaunay
Daniel Loreto
Les triangulations de Delaunay sont l'une des structures de données essentielles de la géométrie algorithmique. Parmi de nombreux algorithmes existant, les méthodes incrémentales randomisée sont populaires pour leur qualités de robustesse et de facilité d'implantation. Cependant, elles possèdent un défaut important pour le traitement de données volumineuses. Par essence, elles n'accèdent pas à la mémoire de façon locale, sollicitant fortement le swap et devenant inutilisables dès que la mémoire vive est saturée. Nous prolongeons les résultats d'Amenta, Choi et Rote et présentons une famille d'ordres d'insertion qui améliorent la localité tout en garantissant toujours un temps de calcul optimal.

Reconstruction de surfaces par sondage
Steve Oudot
Nous considérons le problème de la reconstruction d'une surface lisse inconnue, appelée S, qui borde un domaine O de R3. Le processus de découverte consiste à déplacer une sonde ponctuelle dans l'espace libre autour de O, de manière à ce que cette sonde entre en contact avec S en divers points. Nous proposons une stratégie de sondage pour générer une série d'échantillons de S, à partir desquels peut être construite une surface triangulée approchant S avec n'importe quelle précision. Nous bornons le nombre d'opérations de sondage ainsi que le nombre de déplacements élémentaires de la sonde. Notre solution est une extension de précédents travaux sur les techniques de raffinement de Delaunay pour le maillage de surfaces. La surface approchante que nous générons vérifie toutes les propriétés des maillages obtenus par ces techniques, comme par exemple le bon type de topologie ou l'approximation des normales.

Drawing One-Bend Grap
Maria Pentcheva
We study compact three-dimensional drawing of graphs whose vertices lie on a grid and whose edges are non-crossing polygonal segments with at most one bend lying on the grid. We show that every n-vertex graph admits such a drawing in a box defined on the grid with O(n2 sqrt(n) log n) volume. The previous best result, by P. Morin and D. R. Wood, was in O(n3 / log2n) volume.

(Work in collaboration with J. Erickson, H. Everett, S. Lasard and S. Wismath.)

Points ombilics et lignes d'extrèmes de courbures sur une surface paramétrée: une approche avec l'analyse par intervalle
Marc Pouget
Les ombilics sont des points sur une surface pour lesquels les courbures principales sont égales. Les ridges sont les points pour lesquels une courbure principale est extrême le long de la ligne de courbure correspondante. Les ridges forment des lignes passant par les ombilics. Ces éléments sont des invariants de la surface à isométrie près et sont utilisés en recalage d'images 3D. L'exposé montrera comment utiliser les techniques d'analyse par intervalle pour calculer ces éléments dans le cas d'une surface paramétrée.

Roulements a billes et sables mouvants secs
Nicolas Rivier
Un empilement granulaire est un roulement a billes si les grains peuvent rouler sans glisser les uns sur les autres. L'empilement est alors dynamiquement non frustre, et se comporte comme un fluide sec = (non-visqueux). Pour cela, il suffit, a 3D, que tous les circuits de grains en contact soient pairs. Reciproquement, dans un empilement granulaire quelconque soumis a un cisaillement, les quelques contacts fermant les circuits impairs vont sauter. Un empilement granulaire se reduit donc a un graphe muni d'une connection, avec des conditions de bord particulieres pour imposer le cisaillement. Cette description rend compte des proprietes surprenantes des milieux granulaires secs, de la dilatance (Reynolds, vers 1860) aux sables mouvants secs (Lohse et al. 2004), en passant par la liquefaction et les tremblements de terre silencieux.

Contraintes d'aire et de volume pour modèles multirésolution
Basile Sauvage
Nous présentons ici une méthode de déformation multirésolution de courbes planes fermées avec conservation d'aire. L'objectif est de fournir un environnement d'édition où l'utilisateur peut, pour apporter du réalisme, choisir de fixer l'aire délimitée par la courbe. Il s'agit dans un premier temps de calculer l'aire de la courbe en base d'ondelettes, puis de l'intégrer dans les déformations, comme contrainte compatible avec les contraintes linéaires. Nous explorons en outre le critère de volume pour des surfaces fermées, et le choix de modèles multirésolution surfaciques appropriés.

Reconstruction de surfaces avec des fonctions de base radiales centrées sur les pôles
Marie Samozino
La reconstruction de surface à partir d'un ensemble de points est importante surtout pour de grands ensembles de données bruitées/incomplètes. Représenter une surface implicitement en utilisant des fonction de base radiales ( Radial Basis Functions ) est devenue une approche standard, un grand nombre de fonctions et de méthodes de construction existent déjà. Une méthode intéressante est de choisir de reconstruire en utilisant le moins possible de fonctions de base ( un nombre minimum de centres ). L'objectif que l'on s'est fixé consiste à d'eterminer un "petit" ensemble de centres, les plus appropriés possibles. Une des idées sur laquelle nous avons travaillé est de placer les centres le plus pres possible d'un estimation de l'axe m'edian, plus précisement, sur un sous ensemble des sommets de voronoi, les pôles.

Computing the Topology of Real Algebraic Surfaces
Jean-Pierre Técourt
We present a new algorithm for computing the topology of compact real algebraic surfaces even singular surfaces i.e we provide an isotopic meshing of the surface. Assume S is an algebraic surface defined by the equation f(x, y, z) = 0 where f in R[x,y,z]. First, we detail algorithms for computing the topology of 2d and 3d algebraic curves. After, we detail our algorithm : from the study of the polar variety for the projection into a generic direction, we compute a whitney stratification of S and we compute a list of x-values C for which the projection onto the x-axis is not a submersion (stratum by stratum). From Thom's isotopy lemma we deduce that the topology of the sections can change only for the sections corresponding to the x-values of C. For each section corresponding to a value of C, we compute a graph of points isotopic to the section of S. We detail an algorithm of connection of the graphs of the different sections according to the polar variety. At last, we explain the isotopic transformation between S and the triangulation.

Coauteur : Bernard Mourrain

Décomposition de structures de protéines en volumes élémentaires
Nicolas Wicker
Les protéines sont les briques de base de la cellule, elles interviennent dans toutes les activités de la cellule et la détermination de leur structure au moyen de rayons X est centrale dans la compréhension de leur fonction. Pour comprendre le lien entre fonction et architecture de manière automatique les études structurales se focalisent généralement sur l'analyse des éléments structuraux situés au coeur de la protéine. Dans une perspective d'analyse des complexes multiprotéiques et de prédiction des interactions protéine-protéine, notre attention s'est portée sur l'analyse de leurs surfaces. Afin d'avoir une étude suffisamment fine des surfaces de protéines nous avions besoin de partitionner leurs surfaces. Pour cela nous avons introduit un algorithme permettant de trouver le plus petit parallélépipède englobant un ensemble de points ainsi qu'une méthode pour segmenter la structure d'une objet. Des résultats biologiques seront exposés sur différents protéines à un ou plusieurs domaines intervenant ou non dans des complexes protéiques.

Diagrammes anisotropes
Camille Wormser
Nous considérons le problème de la construction de diagrammes anisotropes, sous forme de diagrammes de Voronoï de domaines polygonaux, en dimension 2 ou 3. L'approche retenue s'appuie sur les définitions proposées par J.-F. Labelle et J. R. Shewchuk. Nous proposons une approche par raffinement de maillage, qui se distingue par la simplicité des prédicats utilisés. Cette méthode fonctionne en dimension 2 et nous présentons les questions restant en suspens pour la prouver en dimension 3.

Francis Lazarus
Last modified: lun jan 17 21:37:35 CET 2005